1. Sử dụng tính chất về chia hết của số chính phươngCác tính chất thường dùng:
- Số chính phương không tận cùng bằng 2,3,7,8.
- Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho
.
- Số chính phương chia cho 3 có số dư 0,1.
- Số chính phương chia cho 4 có số dư 0,1.
- Số chính phương chia cho 8 có số dư 0,1,4.
Ví dụ 1:Tìm các số nguyên x để
là tích của hai số nguyên liên tiếp.
Giải:Cách 1:
Giả sử
với n nguyên thì:
.
Số chính phương
chia hết cho 3 nên cũng chia hết cho 9. Ta lại có
không chia hết cho 3 nên
không chia hết cho 9
=> không tồn tại số nguyên x thỏa mãn.
Cách 2: Đưa phương trình cần giải về dạng
Delta của phương trình bằng
, chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên không là số chính phương => không tồn tại giá trị x thỏa mãn phương trình.
Tạo ra bình phương đúngVí dụ 2:Giải:
(1)
(2)
Dễ thấy
phải chia hết cho 2 (do
chia hết cho 2) nên y là số lẻ.
Do
nên
chỉ có thể bằng 1.
Khi đó (2) có dạng :
Ta được:
. Do đó
.
Các cặp số thỏa mãn là (2;1), (2;-1), (-4;1), (-4;-1)