Giải phương trình bằng cách dùng tính chất của số chính phương, Trích trong sách của thầy Vũ Hữu Bình

1. Sử dụng tính chất về chia hết của số chính phương
Các tính chất thường dùng:
- Số chính phương không tận cùng bằng 2,3,7,8.
- Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho .
- Số chính phương chia cho 3 có số dư 0,1.
- Số chính phương chia cho 4 có số dư 0,1.
- Số chính phương chia cho 8 có số dư 0,1,4.

Ví dụ 1:
Tìm các số nguyên x để là tích của hai số nguyên liên tiếp.
Giải:
Cách 1:
Giả sử với n nguyên thì:

.
Số chính phương chia hết cho 3 nên cũng chia hết cho 9. Ta lại có không chia hết cho 3 nên không chia hết cho 9
=> không tồn tại số nguyên x thỏa mãn.
Cách 2: Đưa phương trình cần giải về dạng
Delta của phương trình bằng , chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên không là số chính phương => không tồn tại giá trị x thỏa mãn phương trình.
Tạo ra bình phương đúng
Ví dụ 2:
Giải:
(1)
(2)
Dễ thấy phải chia hết cho 2 (do chia hết cho 2) nên y là số lẻ.
Do nên chỉ có thể bằng 1.
Khi đó (2) có dạng :
Ta được: . Do đó .
Các cặp số thỏa mãn là (2;1), (2;-1), (-4;1), (-4;-1)